【2024年　数学】香川県公立高校入試　過去問解説

\(\angle{CED}\)を求める問題

①求めたい部分から何が必要か、何が使えるか考える
②必要な部分を図形の性質を利用して求めていく

問題文より\(BD = BE\)なので\(\triangle BDE\)は二等辺三角形ということがわかる

つまり\(\angle{BDE}=\angle{BED}\)

\(\rightarrow\angle{DBE}\)がわかれば\(\angle{BED}(=\angle{CED})\)が求められる

\(\triangle BDE\)は二等辺三角形より

\(\angle{BED}=\displaystyle\frac{180\text{°}-{\angle{DBE}}}{2}\)

平行四辺形\(ABCD\)に注目すると

\(\angle{BCD}=180\text{°}-60\text{°}=120\text{°}\)

\(\angle{BED}\)は二等辺三角形\(\triangle BDE\)の性質より、

\(\begin{align}\angle{BED}&=\displaystyle\frac{180\text{°}-{\angle{DBE}}}{2}\\&=\frac{180\text{°}-40\text{°}}{2}\\&=\frac{140\text{°}}{2}=70\text{°}\end{align}\)

\(\angle{BED}=\angle{CED}\)なので

\(\angle{CED}=70\text{°}\)

解答. \(\angle{CED}=70\text{°}\)

ア　線分DFの長さを求める

・\(DF\)を求めるためにどの三角形を利用するのが良いか考える
・\(\triangle CDF\)を使えば三平方の定理で計算できる

・\(CF=BC-BF=5-3=2cm\)

・\(CD=4cm\)

三平方の定理より

\((DF)^2=(CF)^2+(CD)^2\)

\(\begin{align}(DF)^2&=(2)^2+(4)^2\\&=4+16\\&=20\\\end{align}\)

よって

\(DF=2\sqrt{5}\)

解答. \(DF=2\sqrt{5}cm\)

イ　四角形\(ABGE\)の面積を求める

・四角形\(ABGE\)の面積を直接求めるのは難しそう
・全体から不要な部分を引く、または四角形\(ABGE\)を分割して求める方法を考えていく

今回は2つの解法パターンを説明します

《1. 四角形\(ABFE-\triangle BFG\)で求める》

四角形\(ABFE\)は今ある情報で出せる
⇒①\(\triangle BFG\)の面積がわかれば求められる

四角形\(ABFE\)は台形なので台形の面積の公式を用いる

\(\begin{align}四角形ABFE&=(1+3)\times4\times\displaystyle\frac{1}{2}\\&=4\times\cancelto{\color{red}2}{4}\times\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}{2}}=8\end{align}\)

あとは①\(\triangle BFG\)を求めていく
⇒\(\triangle BFG\)の高さがわかれば面積は出せる

\(\triangle BFG\)と関連のありそうな図形をみていくと\(\triangle DEG\)が\(\triangle BFG\)と相似であることがわかる

相似より\(BF：DE=BG：DG=3：4\)
この辺の比を用いて\(\triangle BFG\)の高さを出したい

そこで\(G\)から辺\(BC\)に垂線を下ろし、辺\(BC\)との交点を\(H\)とおく

すると、\(\triangle BHGと\triangle BCD\)が相似であることがわかるので、先ほどの辺の比を用いて\(GH\)を求めていく

\(BG：GD=3：4\)より\(BG：BD=3：(3+4)=3：7\)

\(\triangle BHG\)と\(\triangle BCD\)の辺の比は\(3：7\)なので
\(\begin{align}GH：DC&=3：7\\GH：4&=3：7\\GH\times7&=4\times3\\GH&=\displaystyle\frac{4\times3}{7}\\GH&=\displaystyle\frac{12}{7}\end{align}\)

\(GH\)の長さがわかったので、\(\triangle BFG\)の面積を求めていく

\(\begin{align}\triangle BFG&=3\times\displaystyle\frac{\cancelto{\color{red}6}{12}}{7}\times\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}2}\\&=\displaystyle\frac{18}{7}\end{align}\)

よって四角形\(ABGE\)の面積は

\(\begin{align}四角形ABFE-\triangle BFG&=8-\displaystyle\frac{18}{7}\\&=\displaystyle\frac{56}{7}-\displaystyle\frac{18}{7}\\&=\displaystyle\frac{38}{7}\end{align}\)

解答. \(\displaystyle\frac{38}{7}cm^2\)

《2. \(四角形 ABCD\)から\(\triangle BCD\)と\(\triangle DEG\)の面積を引く》

この解法では全体の長方形から不要な三角形を引くことで四角形\(ABGE\)の面積を求めていく考え方です

①\(\triangle BCD\)の面積は

\(\triangle BCD=5\times\cancelto{\color{red}2}{4}\times\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}{2}}=10\)

②\(\triangle DEG\)の面積を求めるために\(G\)から辺\(ED\)に垂線を下ろす

辺\(ED\)と垂線との交点を点\(P\)とおく

\(PG\)の長さがわかれば\(\triangle DEG\)の面積が出せる

解法①でも利用した\(\triangle BFG\)と\(\triangle DEG\)の相似を利用する

(\(\triangle BFG\)と\(\triangle DEG\)の相似については解法①で説明しているので省略）

\(BF：ED=3：4\)より面積比は
\(\triangle BFG：\triangle DEG=3^2：4^2=9：16\)

点\(G\)より辺\(BF\)に垂線を下ろし辺\(BF\)との交点を\(H\)とおく

\(PG\)を\(x\)とおくと\(GH=(4-x)\)

それぞれの三角形の面積を\(x\)を用いて表すと

\(\triangle DEG=\cancelto{\color{red}2}{4}\times x\times\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}{2}}=2x\)

\(\begin{align}\triangle BFG&=3\times(4-x)\times\displaystyle\frac{1}{2}\\&=\displaystyle\frac{3(4-x)}{2}\end{align}\)

\(\triangle DEG：\triangle BFG=16：9\)より

\(2x：\displaystyle\frac{3(4-x)}{2}=16：9\)

\(\begin{align}2x\times9&=\displaystyle\frac{3(4-x)}{\cancelto{\color{red}1}{2}}\times\cancelto{\color{red}8}{16}\\\cancelto{\color{red}3}{18}x&=\cancelto{\color{red}4}{24}(4-x)\\3x&=4(4-x)\\3x&=16-4x\\3x+4x&=16\\7x&=16\\x&=\displaystyle\frac{16}{7}\end{align}\)

よって\(\triangle DEG\)の面積は

\(4\times\displaystyle\frac{\cancelto{\color{red}8}{16}}{7}\times\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}{2}}=\displaystyle\frac{32}{7}\)

よって、四角形\(ABGE\)の面積は

\(\begin{align}四角形ABGE&=20-10-\displaystyle\frac{32}{7}\\&=10-\displaystyle\frac{32}{7}\\&=\displaystyle\frac{70}{7}-\displaystyle\frac{32}{7}\\&=\displaystyle\frac{38}{7}\end{align}\)

解答. \(\displaystyle\frac{38}{7}cm^2\)

今回の解法以外にも複数の解き方があります
様々なパターンを増やしてどのような図形でも対応できるようにしておきましょう

\(\stackrel{\huge\frown}{DF}\)と弦\(DF\)で囲まれた面積を求める

・問題文からどのような定理や性質があるか
・導きたい面積をどう工夫すれば求められるか
を考えると必要な部分が見えてくる

まずは既に描かれている\(DF\)の長さを求めたい

円周角と中心角の関係より

\(\begin{align}\angle{BOC}&=\angle{A}\times2\\&=60\text{°}\times2\\&=120\text{°}\end{align}\)

\(\triangle BOC\)は二等辺三角形より\(\angle{BOE}=60\text{°}\)

\(\triangle BOE\)は\(30\text{°},60\text{°},90\text{°}\)の直角三角形なので辺の比は

\(OE：BO：BE=1：2：\sqrt{3}\)

\(\begin{align}BO：BE&=2：\sqrt{3}\\2：BE&=2：\sqrt{3}\\\cancelto{\color{red}1}{2}BE&=\cancelto{\color{red}1}{2}\sqrt{3}\\BE&=\sqrt{3}\end{align}\)

\(BC=2BE=2\sqrt{3}\)より

\(DF=\displaystyle\frac{1}{2}BC=\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}{2}}\times\cancelto{\color{red}1}{2}\sqrt{3}=\sqrt{3}\)

次に扇形\(O’DF\)の中心角を求めていきたい

\(\angle{DEF}\)を求めるために、再度\(\triangle ABC\)の中点連結定理を利用する

\(\triangle BDE\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle BAC\)

\(\triangle CEF\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle CBA\)

\(\angle{DEF}=60\text{°}\)とわかったので円周角と中心角の関係より

\(\begin{align}\angle{DO’F}&=\angle{DEF}\times2\\&=60\text{°}\times2\\&=120\text{°}\end{align}\)

ここまでで\(DF\)の長さと扇形の角度がわかったので、あとは小さい円の半径と\(\triangle O’DF\)の高さを求めていく

問題を解く流れ

• 扇形\(O’DF-\triangle O’DF\)

必要な情報

• 小さい円の半径⇒？
• 扇形の角度⇒\(120\text{°}\)
• \(DF\)の長さ⇒\(\sqrt{3}\)
• \(\triangle O’DF\)の高さ⇒？

\(\triangle DO’F\)に注目すると、\(O’D,O’F\)はともに円\(O’\)の半径なので

\(O’D=O’F\)の二等辺三角形であることがわかる

点\(O’\)から\(DF\)に下ろした垂線と\(DF\)の交点を\(H\)とすると

\(\begin{align}\angle{DO’H}&=\angle{DO’F}\times\displaystyle\frac{1}{2}\\&=120\text{°}\times\displaystyle\frac{1}{2}=60\text{°}\end{align}\)

\(\begin{align}DH=HF&=\displaystyle\frac{1}{2}\times DF\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\\&=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}\)

\(\triangle DO’H\)は\(30\text{°},60\text{°},90\text{°}\)の直角三角形なので辺の比は

\(O’H：O’D：DH=1：2：\sqrt{3}\)

\(DH=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)なので

これで必要な情報が全て揃ったので問題の面積を求めていく

問題を解く流れ

• 扇形\(O’DF-\triangle O’DF\)

必要な情報

• 小さい円の半径⇒\(1\)
• 扇形の角度⇒\(120\text{°}\)
• \(DF\)の長さ⇒\(\sqrt{3}\)
• \(\triangle O’DF\)の高さ⇒\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

＜扇形の面積の求め方＞
\((半径)^2\times\pi\times\displaystyle\frac{中心角}{360}\)

\(\begin{align}扇形O’DF&=1^2\times\pi\times\displaystyle\frac{\cancelto{\color{red}1}{120}}{\cancelto{\color{red}3}{360}}\\&=\displaystyle\frac{\pi}{3}\end{align}\)

\(\begin{align}\triangle O’DF&=\sqrt{3}\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{1}{2}\\&=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\end{align}\)

よって、求めたい面積は

扇形\(O’DF-\triangle O’DF=\displaystyle\frac{\pi}{3}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\)

解答. \(\displaystyle\frac{\pi}{3}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\)

問題文を読んだ時点でどのような定理が使えるかを予測できるようにするのが大切！

・それぞれ中点をとる⇒中点連結定理
・円と図形⇒中心角、円周角

すぐに解法が出てこない場合は時間をかけずに他の問題へ切り替えましょう！

さいころ\(2\)つの目の積が\(1,2,5,10\)のいずれかになる場合は

\((1,1)\)\((1,2)\)\((1,5)\)\((2,1)\)\((2,5)\)\((5,1)\)\((5,2)\)の\(7\)通り

\(2\)つの目のさいころの組み合わせは全部で\(36\)通りなので

\(\displaystyle\frac{(それが起こる場合の数)}{(全体の場合の数)}=\displaystyle\frac{7}{36}\)

解答. \(\displaystyle\frac{7}{36}\)

漏れがないか不安な場合は
樹形図や表を用いて数えると良い

\(30\)人のハンドボール投げの記録の第一四分位数を含む階級の相対度数を求める

・四分位数とはデータを\(4\)分割する仕切り部分
・データの小さい順に第一、第二、第三となる
⇩⇩
・四分位数の問題はデータの分け方が大切
・データが偶数個か奇数個かで計算方法が異なるので注意！

しっかり分け方を理解できていれば四分位数の問題は難しくないよ！得点源にしていこう！

まずは対象の\(30\)人を小さい順に並べていきます

横に並べても良いですが、今回は与えられた表があるのでそれを利用します

右の列に人数の累計を書き足していくと、どの階級までで累計何人いるかがわかります

＜第二四分位数は？＞
・データのちょうど半分の値
・データの数が偶数か奇数かで四分位数の求め方が異なるので注意！

今回の場合は\(30\)人のデータ
⇒偶数パターンで計算

\(30\div2=15\)
⇒\(15\)番目と\(16\)番目の平均値が第二四分位数

今回のデータでいうと
階級\(20～25(m)\)の範囲に第二四分位数がいることがわかる

第一四分位数は第二四分位数で分かれた小さいほうのデータを更に半分に分けた値です

考え方は第二四分位数と同じです

今回のデータでは階級\(15～20(m)\)の範囲に第一四分位数(\(8\)番目のデータ)が入る

＜相対度数とは？＞
各カテゴリの度数を総度数で割った値

今回のデータでは階級\(15～20(m)\)の範囲に第一四分位数が入るので
・第一四分位数を含む階級の度数：\(6\)(人)
・総度数：\(30\)人(総人数)

よって第一四分位数の相対度数は
\(6\div30=0.2\)

解答. \(0.2\)

ア \(y=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2\)において、\(x\)の値が\(1\)から\(3\)まで増加するときの変化の割合を求める

\(変化の割合=\displaystyle\frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}\)

＜\(x\)の増加量＞
\((変化後のx値)-(変化前のx値)\)

＜\(y\)の増加量＞
\((変化後のy値)-(変化前のy値)\)

\((xの増加量)=3-1=2\)

\(\begin{align}(yの増加量)&=-\displaystyle\frac{1}{2}(3)^2-(-\displaystyle\frac{1}{2}(1)^2)\\&=-\displaystyle\frac{9}{2}-(-\displaystyle\frac{1}{2})\\&=-\displaystyle\frac{9}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\\&=-\displaystyle\frac{\cancelto{\color{red}4}{8}}{\cancelto{\color{red}1}{2}}=-4\end{align}\)

よって変化の割合は

\(\begin{align}変化の割合&=\displaystyle\frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}\\&=\displaystyle\frac{-\cancelto{\color{red}2}{4}}{\cancelto{\color{red}1}{2}}\\&=-2\end{align}\)

解答. \(-2\)

イ 線分\(CD=DE\)のときの点\(C\)の\(x\)座標を求める(\(x\)座標を\(a\)として\(a\)の値を求める)

・\(①y=\displaystyle\frac{3}{4}x^2、②y=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2\)
・線分\(AB\)は\(x\)軸に平行
・点\(C\)は線分\(AB\)上の点で\(x\)座標は正の数(点\(B\)と異なる点)
・点\(C\)を通り\(y\)軸に平行な直線をひき、放物線①、②との交点をそれぞれ\(D,E\)とする

点\(C\)の\(y\)座標は点\(A\)の\(y\)座標と等しい
点\(A\)の\(y\)座標は\(y=\displaystyle\frac{3}{4}x^2\)の\(x=-4\)のときの値なので
\(\begin{align}点Aのy座標&=\displaystyle\frac{3}{4}\times(-4)^2\\&=\displaystyle\frac{3}{\cancelto{\color{red}1}{4}}\times\cancelto{\color{red}4}{16}=12\end{align}\)

よって
点\(C=(a,12)\)

次に②\(CD,DE\)の長さを\(a\)を使って表していく

\(C,D,E\)は全て\(y\)軸に平行なので、\(y\)座標同士の差で計算すれば\(CD,DE\)の長さは求められる

長さを求めるときは\(y\)座標の大きいものから小さいものを引くようにしましょう！

\(\begin{align}CD&=(Cのy座標)-(Dのy座標)\\&=12-\displaystyle\frac{3}{4}a^2\end{align}\)

\(\begin{align}DE&=(Dのy座標)-(Eのy座標)\\&=\displaystyle\frac{3}{4}a^2-(-\displaystyle\frac{1}{2}a^2)\\&=\displaystyle\frac{3}{4}a^2+\displaystyle\frac{1}{2}a^2\\&=\displaystyle\frac{3}{4}a^2+\displaystyle\frac{2}{4}a^2\\&=\displaystyle\frac{5}{4}a^2\end{align}\)

全体に\(-1\)をかけて計算しやすくすると

\(\begin{align}\displaystyle\frac{3}{4}a^2-12&=-\displaystyle\frac{5}{4}a^2\\\displaystyle\frac{3}{4}a^2+\displaystyle\frac{5}{4}a^2&=12\\\displaystyle\frac{\cancelto{\color{red}2}{8}}{\cancelto{\color{red}1}{4}}a^2&=12\\\cancelto{\color{red}1}{2}a^2&=\cancelto{\color{red}6}{12}\\a^2&=6\end{align}\)

\(a\)は正の数なので、\(a=\sqrt{6}\)

解答. \(a=\sqrt{6}\)

まずは①\(2\)つの奇数を文字式を使って表す

文字式を使って奇数を表す方法
※\(m\)は整数とする
・\(2m+1\)または\(2m-1\)
どちらでもOK！

今回は\(2\)つの奇数なので、それぞれ別の文字式を使って表す必要がある

今回は\(2\)つの奇数を

• \(2m+1\)
• \(2n+1\)

とおく(\(m,n\)は整数)

問題文に書かれたとおりに\(2\)つの奇数を用いて「\(2\)つの奇数を\(2\)乗してできた\(2\)つの数の和に\(2\)を加える」を計算していく

\(\begin{align}&(2m+1)^2+(2n+1)^2+2\\&=\small{4m^2+4m+1+4n^2+4n+1+2}\\&=4m^2+4m+4n^2+4n+4\end{align}\)

先ほどの計算結果を\(4\times(整数)\)の形にしたいので\(4\)でくくると

\(\begin{align}&4m^2+4m+4n^2+4n+4\\&=4(m^2+m+n^2+n+1)\end{align}\)

\(m,n\)は整数より\((m^2+m+n^2+n+1)\)は整数

\(\therefore4(m^2+m+n^2+n+1)\)は\(4\)の倍数

＜碁石の並べ方の問題＞

・白と黒の碁石を並べる
・上段には白、黒を交互に並べる
・下段には黒、黒、白の順に繰り返し並べる

ア　上段下段\(2024\)列目まで碁石を置いたとき、\(2024\)列目の上段下段それぞれの碁石の色は？

\(2024\)は偶数なので
⇒上段は黒

\(2024\div3=674.666…\)より\(3\)で割り切れないので\(3\)の倍数ではない
⇒下段は黒

解答. 上段⇒㋑黒、下段⇒㋓黒

イ　\(n\)列目まで碁石を置いたとき上段も下段も白の碁石であった。並んでいるすべての碁石のうち白の碁石の個数と黒の碁石の個数が比が\(8：11\)のときの\(n\)の値を求める

《上段下段が白の碁石になるときは？》

上段下段どちらも白の碁石になるためには奇数かつ\(3\)の倍数のときとわかる

次に上段下段の白、黒の個数を\(n\)を使って表す

今回は奇数なのでそのまま半分にしてしまうと整数にならない

例)\(n=9\)の場合
\(9\div2=4.5\)となり碁石の個数として不適切
(碁石の個数は必ず整数)

よって\(n\)列目のときの上段の白、黒の個数は

白：\(\displaystyle\frac{n+1}{2}\)、黒：\(\displaystyle\frac{n-1}{2}\)

と表すことができる

例)\(n=9\)の場合
黒、黒、白、黒、黒、白、黒、黒、白の並び方なので
白が\(3\)個、黒が\(6\)個

今回は\(n\)が\(3\)の倍数なのでどちらも必ず整数になり碁石の個数として適切に表せる

よって\(n\)列目のときの下段の白、黒の個数は

白：\(\displaystyle\frac{n}{3}\)個、黒：\(\displaystyle\frac{2n}{3}\)個

と表すことができる

②より上段、下段の白、黒の個数を\(n\)を用いて表すと以下のようになる

上段の白、黒の個数

白：\(\displaystyle\frac{n+1}{2}\)、黒：\(\displaystyle\frac{n-1}{2}\)

下段の白、黒の個数

白：\(\displaystyle\frac{n}{3}\)個、黒：\(\displaystyle\frac{2n}{3}\)個

上段、下段を合わせた白の個数

\(\begin{align}白の個数&=\displaystyle\frac{n+1}{2}+\displaystyle\frac{n}{3}\\&=\displaystyle\frac{3n+3}{6}+\displaystyle\frac{2n}{6}\\&=\displaystyle\frac{5n+3}{6}\end{align}\)

上段、下段を合わせた黒の個数

\(\begin{align}黒の個数&=\displaystyle\frac{n-1}{2}+\displaystyle\frac{2n}{3}\\&=\displaystyle\frac{3n-3}{6}+\displaystyle\frac{4n}{6}\\&=\displaystyle\frac{7n-3}{6}\end{align}\)

上段、下段を合わせた白の碁石の個数と黒の碁石の個数の比は\(8：11\)のときの\(n\)を求めたいので

\(\begin{align}(白の個数)：(黒の個数)&=8：11\\\displaystyle\frac{5n+3}{6}：\displaystyle\frac{7n-3}{6}&=8：11\end{align}\)

\(8\times\displaystyle\frac{7n-3}{\cancelto{\color{red}1}{6}}=11\times\displaystyle\frac{5n+3}{\cancelto{\color{red}1}{6}}\)

↑両辺に\(6\)をかけて分母を払う

\(\begin{align}8\times(7n-3)&=11\times(5n+3)\\56n-24&=55n+33\\56n-55n&=33+24\\n&=57\end{align}\)

解答. \(n=57\)

＜立体図形上を動く点の問題＞

ア　\(2\)点\(P,Q\)が同時に出発してから\(4\)秒後にできる三角すい\(APDQ\)の体積は何\(cm^3\)か。

まずは\(P,Q\)が\(4\)秒後にいる場所を図形に書き、どのような三角すいになるか確認しましょう

今回はどこを底面にとっても高さは辺の長さと等しくなるので自分が考えやすい形で求めて良い

\(\triangle APQ\)を底面とした場合、高さは\(AD=4cm\)となる

\(\triangle APQ=4\times\cancelto{\color{red}2}{4}\times\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}{2}}=8\)

よって三角すい\(APDQ\)の体積は

\(8\times4\times\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{32}{3}\)

解答. \(\displaystyle\frac{32}{3}cm^3\)

イ　\(2\)点\(P,Q\)が同時に出発してから\(x\)秒後(\(4 < x < 8\))にできる三角形\(APQ\)の面積は何\(cm^2\)か。\(x\)を使った式で表せ。

まずは(\(4 < x < 8\))のとき、点\(P,Q\)がどこにいるか確認しましょう

次は\(x\)を使って\(EP,PF,BQ,QF\)を表していきたい

同様に\(BQ,QF\)の長さを\(x\)を用いて表すと

\(\triangle APQ\)の面積を求めていく

四角形\(ABFE\)の中で\(\triangle APQ\)以外の三角形(青塗り部分)をみると、全て直角三角形で面積が求めやすいことがわかる
⇒\(\triangle APQ\)を直接求めるより、四角形\(ABFE\)から不要な三角形(青塗り部分)を引いていく方法の方が良さそう

《青塗り部分の三角形の面積》

\(\begin{align}\triangle AEP&=\cancelto{\color{red}2}{4}\times(x-4)\times\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}{2}}\\&=2x-8\end{align}\)

\(\triangle ABQ\)も同じなので\(2x-8\)

\(\begin{align}\triangle PQF&=(8-x)\times(8-x)\times\displaystyle\frac{1}{2}\\&=\displaystyle\frac{x^2-16x+64}{2}\\&=\displaystyle\frac{x^2}{2}-8x+32\end{align}\)

よって、青塗り部分の三角形の面積の和は

\(\triangle AEP+\triangle ABQ+\triangle PQF\)

\(\begin{align}&2x-8+2x-8+\displaystyle\frac{x^2}{2}-8x+32\\&=\displaystyle\frac{x^2}{2}-4x+16\end{align}\)

\(\triangle APQ\)の面積は

四角形\(ABFE-(青塗り部分)\)

四角形\(ABFE=4\times4=16\)なので、

\(\begin{align}\triangle APQ&=16-(\displaystyle\frac{x^2}{2}-4x+16)\\&=16-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x-16\\&=-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x\end{align}\)

解答. \((-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x)cm^2\)

ウ　\(2\)点\(P,Q\)が同時に出発してから\(x\)秒後(\(4 < x < 8\))にできる三角すい\(APQD\)の体積が、\(2\)点\(P,Q\)が同時に出発してから\(1\)秒後にできる三角すい\(APQD\)の体積と等しくなるときの\(x\)の値はいくらのときか。

 POINT 

体積を求めるときは

・底面積をどの面にすれば高さが簡単に求められるか

を考えて解いていくことが大切！

まずは\(2\)点\(P,Q\)が同時に出発してから\(1\)秒後にできる三角すい\(APQD\)の体積を求めていく

底面積を\(ADQ\)とすると、高さは\(AP=1cm\)

よって三角すい\(APQD\)の体積は

\(\begin{align}&底面積(ADQ)\times高さ(AP)\times\displaystyle\frac{1}{3}\\&=4\times\cancelto{\color{red}2}{4}\times\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}{2}}\times1\times\displaystyle\frac{1}{3}\\&=\displaystyle\frac{8}{3}\end{align}\)

次に\(x\)秒後にできる三角すい\(APQD\)の体積を求めていく

問題文より(\(4 < x < 8\))の範囲なので点\(P\)は\(EF\)上、点\(Q\)は\(BF\)上にいることがわかる

底面積を\(APQ\)とすると、点\(A,P,Q\)はいずれも平面\(ABFE\)上にいる
⇒高さは\(AD=4cm\)になる

底面積\(APQ\)は問題イより\((-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x)cm^2\)

よって\(x\)秒後にできる三角すい\(APQD\)は

\((-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x)\times4\times\displaystyle\frac{1}{3}\)

\(1\)秒後、\(x\)秒後の三角すい\(APQD\)の体積が等しいときの\(x\)を求めたいので

\((x秒後の体積)=(1秒後の体積)\)の式を解いて\(x\)の値を求める

\((-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x)\times4\times\displaystyle\frac{1}{\cancelto{\color{red}1}{3}}=\displaystyle\frac{8}{\cancelto{\color{red}1}{3}}\)

\((-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x)\times\cancelto{\color{red}1}{4}=\cancelto{\color{red}2}{8}\)

\(-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x=2\)

両辺に\(2\)をかけて分母を払うと、

\(\begin{align}&-x^2+8x=4\\&x^2-8x=-4\\&x^2-8x+4=0\end{align}\)

解の公式より

\(\begin{align}x&=-(-4)\pm\sqrt{4^2-1\times4}\\x&=4\pm\sqrt{16-4}\\x&=4\pm\sqrt{12}\end{align}\)

\(x=4\pm2\sqrt{3}\)

\(x\)は\(4 < x < 8\)なので

\(x=4+2\sqrt{3}\)

解答. \(x=4+2\sqrt{3}\)

\(x\)の範囲を確認するのを忘れずに！

\(\triangle ACH\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle GBH\)を証明せよ。

まずは証明する三角形\(\triangle ACH,\triangle GBH\)を確認しましょう

次に同じ角や辺を図形の性質より見つけていきましょう

\(2\)組の角がそれぞれ等しいので

\(\therefore\triangle ACH\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle GBH\)

\(\triangle ABF\equiv\triangle ABG\)であることを証明せよ。

証明する三角形を確認していく

(1)同様、三角形や図形の性質から同じ角度や辺を見つけていく

証明する三角形と遠い角度でも考えていくことが大切！

気付いたら繋がっていくことが多いので、わかるとこはどんどん埋めていこう！

問題文より\(CE=CF\)という条件があるので、そこから考えていく

次に先ほど目印をつけた角度と同じ角度に同じ目印をつけていく

まず「×印」と同じ角度について考えていく

×印は\(\angle{FCD}と\angle{ECD}\)

\(\angle{FCD}\)の円周角について考えると

同様に\(\angle{ECD}\)の円周角について考えると

よって

次に「〇印」と同じ角度について考えていく

〇印は\(\angle{CFD}と\angle{CED}\)

\(\angle{CFD}\)について考えると

次に\(\angle{CED}\)について考えると

新たにわかった情報を図形に書き込むと、

\(\triangle AGF\)が二等辺三角形より

証明する三角形を確認すると、

二辺とその間の角が等しいので

\(\therefore\triangle ABF\equiv\triangle ABG\)